�߿���ѧ֪ʶ���ܽᾣ����15ƪ��
�����ܽ���һ��ʱ�ڡ�һ����ȡ�һ���ζ�ѧϰ���������������իع˺ͷ�����һ��������ϣ������դ�ʹ����˼����ϊ��ҫ����дһ���ܽᡣ�����������ܽ�ӧ����ʲô���ģ�������с����������ĸ߿���ѧ֪ʶ���ܽᣬ�����ο�����ӭ����ķ���
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�1
��������һ�������������
�������ϲ���һ����ѡ������֣��������⡣�ص㿼�鼯�ϼ��ϵ���������ʶ������������ǿ�˶լ��ϼ��㻯�������ŀ��飬����������չ���������˼ά�������ڽ����щ����ʱ��ҫע�����ü��ε�ֱ���ԣ���ע�ؼ��ϱ�ʾ������ת���뻯������������������ʽ��һ����ѡ������������ֱ�ӿ������⼰���ϵ��������ʡ�����ҫ��ϵ����������α���жϡ�ȫ��������س�����ķȣ������ڽ���������ο��鳣�������������ѧ������̺���������
����������������뵼��
���������ǹ߿����ص����ݣ���ѡ�����������ϊ��������կ��麯���ķ�������ֵ���������ʡ������뷽�̡��������ⱥ�����һ�κͷ��κ�����ָ�����������ݺ�������ӧ�õȣ���ֵլϊ10�֣�������뵼��������һ�麯�������ʡ���������һ���濼�鵼���������뵼���ļ������壬��һ���濼�鵼���ļ�ӧ�ã��������ĵ������䡢��ֵ����ֵ�ȣ�ͨ���կ������ʽ���֣�������������е��⣬���ǵ������ۺ�ӧ�ã���ҫ�ǻͺ���������ʽ�����̵���ϵ��һ���խ�������ʽ���֣���һщ����ʽ��������⡢������ȡֵ��χ���⡢���̸��ĸ������⡢����ʽ��֤�������⡣
���������������ǻ�����ƽ������
����һ����2��с�⣬1���ۺͻ���⡣с��һ������ƽ�������йظ������ȣ���һ��������֪ʶ���`���䡣���������û���漰���ҷ��������ҷ�����ӧ�ã����ܾ���һ���ͽ�������������ǻ�����ͼ�����ʻ����ǻ�ȱ任����ŀ��ҳ�����ǿ���ƽ������ϊ�������⣬ҫע�����ν��˼���ڽ����е�ӧ�á������ص㿼��ƽ�������������ĸ��ӧ�ã�������ֱ�ߡ�բ���ߡ����с�����ʽ�����ǻ����ƚ�ϣ�����ƕȡ���ֱ�����ߵ������ǡ����ȵ㡱���͡�
���������ģ������벻��ʽ
��������ʽ��ҫ����һԪ���β���ʽ�ľⷨ��һԪ���β���ʽ��ͼ����թ滮���⡢��������ʽ��ӧ�õȣ�ͨ������с��������1��2���⡣�բ���ʽ�ĺ����դ��������с��������ρ����������ƚ�����н��п��顣��ѡ��������п���ȳ��ȱ����еĸ�����ʡ�ͨ�ʽ�����ʽ�ȵ����ӧ�ã�һ�����������������֪ʶϊ���ߣ��ۺ����ú��������̡�����ʽ�ƚ����������������ƕ������с��ߵ���ŀ��
���������壺���弸����ռ�����
����һ�ǿ���ռ伸����ľṹ������ֱ��ͼ������ͼ�����ǿ���ռ�㡢�ߡ���֮���λ�ù�ϵ�����ǿ������ÿռ�����������弸�����⣺���ÿռ�����֤������ƽ���봹ֱ����ռ�ǵȣ��ŀʋ�ҫ���ڸ߿��ծ��у�һ����1~2�������һ������⣬��ϊ�е��⡣
��������������������
����һ����1~2�������1������⣬���п�����ҫ����ֱ��б�ʡ�ֱ�߷��̡�բ�ķ��̡�ֱ����բ��λ�ù�ϵ��բ���ߵķ���ӧ�á������̵���⡢�����ʵļ���ȣ����������ҫ����ֱ������բ�������ߵȵ�λ�ù�ϵ���⣬������ƽ�������������벻��ʽ���㣬����һщ���������⡢֤�����⡢�����붨ֵ����ֵ�뷶χ����ȡ�
���������ߣ��㷨����������֤��
�����߿����㷨�ŀ�����ѡ�������������ʽ���֣������������㡰���¡���������ȵ�������ͼ��ʶ�����㷨���ե��ķ����⡣�㷨������֪ʶ�����罻�������ǿ��������������������ص��ǹ������йظ�������ĵ�����ʽ�����㼰����ļ������壬һ����ѡ���⡢����⣬�ѷȳ�������֤����������ķ�����ҫ���ں��������ǡ����с����弸�ρ��������εȷ��棬��������ŀ����խ�с���������ƣ���ѧ���ɷ�������ϊ������һс�ʡ�
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�2
������һ���ִ���
����(һ)���ϻͼ�����
����1���⼯�ϵ����弰���ʾ�������˽�ռ���ȫ�����ӽ��������������������ĸ�����ʾ�������˽���ÿ��ָ�������صķ��ź��壬����������щ���ű�ʾ�����뼯�ϡ�Ԫ���뼯�ϵĺ�ϵ��
����2���˽�����������ҫ��������ֱ�ҫ�����ĸ��
����(��)����
����1���˽⺯���������һщ���������ķ�����
����2���˽⺯���ĵ����ժ���ż�եĸ�����ж�һщ���������ĵ����ժ���ż�ԡ�
����3������һ�κ����������������ĸ���������ǵ�ͼ������ʣ��������ǵľ���ʽ��
����4��������κ����ĸ����������ͼ��������լ�����y=ax? bx c(a��0)��y=ax?(a��0)��ͼ���ĺ�ϵ;������κ����ľ���ʽ�����ֵ����сֵ�������ö��κ�����֪ʶ����й����⡣
����5���������ָ���ݵĸ����������ָ���ݵ��������ʣ�����ָ�������ĸ��ͼ������ʡ�
����6����������ĸ�����ն������������ʣ����ն��������ĸ��ͼ������ʡ�
����(��)����ʽ�ͳ���ʽ��
����1���˽ⲻ��ʽ�����ʣ����һԪһ�β���ʽ��һԪһ�β���ʽ����ɻ�ϊһԪһ�β���ʽ��ij���ʽ�����һԪ���β���ʽ�����ʾ����ʽ��ʽ��ľ⼯��
����2���������1ax b1��c��1ax b1��c�ľ���ֵ����ʽ��
����(��)����
����1���˽����м���ͨ�ǰn��͵ĸ��
����2������ȳ����с��ȳ�����ĸ����������õȳ����е�ͨ�ʽ��ǰn���ʽ����й����⡣
����3������ȱ����с��ȱ�����ĸ�������õȱ����е�ͨ�ʽ��ǰn���ʽ����й����⡣
����(��)����
����1��������ĸ���伸�����塣
����2�����պ���y=c(cϊ����)��y=c(n��n )�ĵ�����ʽ���������ʽ�����ĵ�����
����3���˽⼫��ֵ����сֵ�����ֵ����сֵ�ĸ�������õ��������ʽ�����ĵ������䡢����ֵ����сֵ���������ϵ����ֵ����сֵ��
����4�������й����ߵ�������̣����õ������ʵ����������ֵ����сֵ��
�����ڶ��������ǻ���
����(һ)���ǻ��������йظ���
����1���˽�����ǵĸ���������ǻ��ձ���ͬ�ľǵĸ��
����2���˽⻡�ȵĸ������л�����ƕȵļ��㡣
����3�������������ǻ����ĸ���˽����ǻ����ڸ����ķ��ź�����ǵ����ǻ���ֵ��
����(��)���ǻ���ʽ�ı任
����1������ͬ�����ǻ�����ļ�����ϵʽ���յ���ʽ�����������ǽ��м��㡢�����֤����
����2���������ǻ͡����dz�����ǵ����ҡ����ҡ����еĺ�ʽ���������ǽ��м��㡢�����֤����
����(��)���ǻ�����ͼ�������
����1���������һ��������һ�����ͼ������ʣ�����������������'����(������ֵ�������ԡ���ż�ժ͵�����)����й����⡣
����2���˽����к�����ͼ������ʡ�
����3��������y=asin(��x ��)�����ڡ����ֵ����сֵ��
����4��������֪���ǻ���ֵ��ǣ�����������arcsinx��arccosx,��arctanx��ʾ��
����(��)��������
����1������ֱ�������εı߽ǹ�ϵ���������ǽ�ֱ�������ρ�
����2���������ҷ��������ҷ������������ǽ�б�����ρ�
������������ƽ���������
����(һ)ƽ������
����1�����������ĸ�����������ļ��α�ʾ���˽�������ĸ��
����2�����������ļӡ������㣬�����������������㣬�˽������������ߵ�������
����3���˽������ķֽⶨ����
����4�������������������㣬�˽��伸��������ڴ������ȡ��ƕȼ���ֱ�����ӧ��4�˽�������ֱ��������
����5���˽�������ֱ������ĸ�������������������㡣
����6������ƽ���������ľ��빫ʽ���߶ε��е㹫ʽ��ƽ�ƹ�ʽ��
����(��)ֱ��
����1������ֱ�ߵ���б�ǻ�б�ʵĸ������ֱ�ߵ�б�ʡ�
����2������ֱ�߷��̣�����ֱ�߷��̽���й����⡣
����3�˽�����ֱ��ƽ���봹ֱ�������լ��㵽ֱ�ߵľ��빫ʽ���������ǽ���й����⡣
����(��)բ����
����1���˽����ߺͷ��̵ĺ�ϵ�������������ߵľ��㡣
����2������բ�ı����̺�һ�㷽��ʽ�լ�ֱ����բ��λ�ù�ϵ��������������ǽ���й����⡣
����3��������բ��˫���ߡ������ߵĸ���������ǵı����̺����ʣ��������ǽ���й����⡣
�������ij��ָ�����ͳ�ƴ���
����(һ)���с����
����1���˽�������ԭ���ͷֲ�����ԭ����
����2���˽����с���ϵ����壬������������������ļ��㹫ʽ��
����3��������с���ϵļ�ӧ���⡣
����(��)���ʳ���
����1���˽�����¼�������ʵ����塣
����2���˽�ȿ������¼��ĸ��ʵ����壬���ü���������������ϻ�����ʽ����һщ�ȿ������¼��ĸ��ʡ�
����3���˽⻥���¼������壬���û����¼��ĸ��ʼӷ���ʽ����һщ�¼��ĸ��ʡ�
����4���˽�������¼������壬����������¼��ĸ��ʳ˷���ʽ����һщ�¼��ĸ��ʡ�
����5��������¼���n�ζ����ظ�������ǡ�÷���k�εĸ��ʡ�
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�3
����������ѧ֪ʶ�����
����һ�������ķ�����ij�����
����1����ʽ�ķ�ĸ��������;
����2��ż�η����ı����������ڵ�����;
����3������������������;
����4��ָ�������ͷ��������ĵ����������ҳ�����1;
����5�����ǻ������к���y=tanx��x��k�� ��/2;
����6�������������ʵ������ȷ���ľ���ʽ��ӧ�����ա�����ʵ������ȷ����ȡֵ��χ��
�������������ľ���ʽ�ij�����
����1�����巨;
����2����Ԫ��;
����3������ϵ����;
����4���������̷�;
����5��������;
����6���䷽��
��������������ֵ��ij�����
����1����Ԫ��;
����2���䷽��;
����3���б�ʽ��;
����4�����η�;
����5������ʽ��;
����6�������է�;
����7��ֱ�ӷ�
�����ġ���������ֵ�ij�����
����1���䷽��;
����2����Ԫ��;
����3������ʽ��;
����4�����η�;
����5�������է�
�����塢���������եij��ý��ۣ�
����1����f(x),g(x)��ϊij�����ϵ���(��)��������f(x) g(x)�����������ҳϊ��(��)������
����2����f(x)ϊ��(��)��������-f(x)ϊ��(��)������
����3����f(x)��g(x)�ĵ�������ͬ����f[g(x)]��������;��f(x)��g(x)�ĵ����բ�ͬ����f[g(x)]�ǽ�������
����4���溯���ڶգ������ϵĵ�������ͬ��ż�����ڶգ������ϵĵ������෴��
����5�����ú����ĵ����խ�𣺱ƚθ�с����ֵ������ֵ���ⲻ��ʽ��֤����ʽ��������ͼ��
��������������ż�եij��ý��ۣ�
����1�����һ���溯����x=0���ж��壬��f(0)=0�����һ������y=f(x)�����溯������ż��������f(x)=0(��֮������)��
����2��������(ż)����֮��(��)ϊ��(ż)����;֮��(��)ϊż������
����3��һ���溯����һ��ż�����ļ�(��)ϊ�溯����
����4����������y=f(u)��u=g(x)���϶��ɵĺ�����ֻҫ������һ����ż��������ô�ø��ϻ�������ż����;���������������溯��ʱ���ø��ϻ������溯����
����5��������f(x)�ķ��������ԭ��գƣ���f(x)���ա�ʾϊf(x)=1/2[f(x) f(-x)] 1/2[f(x) f(-x)]����ʽ���ص��ǣ��ҷ�ϊһ���溯����һ��ż�����ĺ͡�
����������ѧ֪ʶ���ܽ�
����1��բ�ı����̣�
����բ��ϊa(a,b),�뾶ϊr��բ�ķ���
����2������բ�ĺ�ϵ���жϸ�����(1)������բ��(2)������բ��(3)������բ��
����4.1.2բ��һ�㷽��
����1��բ��һ�㷽�̣�
����2��բ��һ�㷽�̵��ص㣺
����(1)��x2��y2��ϵ����ͬ��������0.
������û��xy�����ķ�����.
����(2)բ��һ�㷽�����������ض���ϵ��d��e��f����ֻ֮ҫ���������ϵ����բ�ķ��̾�ȷ����.
����(3)����բ�ı�������ƚϣ�����һ������ķ�Ԫ���η��̣������������ԣ�բ�ı�������ָ����բ��������뾶��с���������������ԡ�
����4.2.1բ��բ��λ�ù�ϵ
����1���õ㵽ֱ�ߵľ������ж�ֱ����բ��λ�ù�ϵ.
����4.2.2բ��բ��λ�ù�ϵ
����4.2.3ֱ����բ�ķ��̵�ӧ��
����1������ƽ��ֱ������ϵ���ֱ����բ��λ�ù�ϵ;
����2�������뷽��
���������귨�����������ij��裺
������һ���������ʵ���ƽ��ֱ������ϵ��������ͷ��̱�ʾ�����еļ���Ԫ�أ���ƽ�漸������ת��ϊ��������;
�����ڶ�����ͨ���������㣬�����������;
�����������������������������롱�ɼ��ν���.
����4.3.1�ռ�ֱ������ϵ
����1����m��ӧ��ȷ��������ʵ���飬��ӧ�ſռ�ֱ������ϵ�е�һ��3���ռ��������m�����궼����������ʵ��������ʾ�������������m�ڴ˿ռ�ֱ������ϵ�е����꣬��m��
�����߿�����ѧ֪ʶ��
�������弸�γ���
����1��������̨����ľṹ����
����(1)������
�������壺�������滥��ƽ�у�������涼���ı��σ���ÿ���������ı��εĺ����߶�����ƽ�у�����щ����χ�ɵļ����塣
�������ࣺ�ե������εı�����ϊ����ı���ϊ�����������������������ȡ�
������ʾ���ø�������ĸ�������������öխ��ߵķ˵���ĸ������������
���������������������ƕ�ӧ��ƽ�е�ȫ�ȶ����;���桢�խ��涼��ƽ���ı���;����ƽ�������;ƽ���ڵ���ľ����������ȫ�ȵķ���ρ�
����(2)��
�������壺��һ�����ƕ���σ�������涼����һ����������������σ�����щ����χ�ɵļ����塣
�������ࣺ�ե������εı�����ϊ�����.����ϊ������������������
������ʾ���ø�������ĸ��������
�����������������桢�խ��涼��������;ƽ���ڵ���ľ�����������ƣ������ʊȵ��ڶ��㵽���������ߵıȵ�ƽ����
����(3)��̨��
�������壺��һ��ƽ�����������ƽ��ȥ����������͵���֮��ij��֡�
�������ࣺ�ե������εı�����ϊ����ı���ϊ����̨������̨������̨�ȡ�
������ʾ���ø�������ĸ��������̨
��������������
���������µ��������ƶ�ƽ�ж����
�����ڲ���������
�����۲��⽻��ԭ���ķ���
����(4)բ����
�������壺�ծ��ε�һ�����ڵ�ֱ��ϊ����ת������������ת���ɵ�������χ�ɵļ����塣
��������������
�����ٵ�����ȫ�ȵ�բ;
������ĸ������ƽ��;
�������������բ�i뾶��ֱ;
�����ܲ���չ��ͼ��һ�����ρ�
����(5)բ��
�������壺��ֱ�������ε�һ��ֱ�dz�ϊ��ת�ᣬ��תһ�����ɵ�������χ�ɵļ����塣
��������������
�����ٵ�����һ��բ;
������ĸ�߽���բ�ķ���;
�����۲���չ��ͼ��һ�����ρ�
����(6)բ̨��
�������壺��һ��ƽ����բ�����ƽ��ȥ��բ������͵���֮��ij���
��������������
���������µ���������բ;
�����ڲ���ĸ�߽���ԭբ�ķ���;
�����۲���չ��ͼ��һ�����ρ�
����(7)���壺
�������壺��բ��ֱ������ֱ��ϊ��ת�ᣬ��բ����תһ���γɵļ�����
��������������
��������ľ�����բ;
����������������һ�㵽���ĵľ�����ڰ뾶��
����2�� �ռ伸���������ͼ
������������ͼ������ͼ(���ߴӽ������ǰ���������ͷӱ);����ͼ(��������)������ͼ(��������)
����ע������ͼ��ӳ���������¡����ҵ�λ�ù�ϵ������ӳ������ĸ߶ⱥͳ���;
��������ͼ��ӳ���������ҡ�ǰ���λ�ù�ϵ������ӳ������ij��ⱥͿ���;
��������ͼ��ӳ���������¡�ǰ���λ�ù�ϵ������ӳ������ĸ߶ⱥͿ��ȡ�
����3���ռ伸����ֱ��ͼ����б���⻭��
����б���⻭���ص㣺
������ԭ����x��ƽ�е��߶���ȼ��xƽ���ҳ��ȳ���;
������ԭ����y��ƽ�е��߶���ȼ��yƽ�у�����ϊԭ����һ�롣
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�4
������1���ȿ�����������ͱ�ҫ������
���������⡰��p��q��ϊ��ʱ���ɱ�ʾϊp=>q�������dz�pϊq�ij��������q��p�ı�ҫ������������p=>q���ó�pϊq�ij����������������ġ�
������ϊʲô˵q��p�ı�ҫ�����أ�
������ʵ�ϣ��롰p=>q���ȼ۵���������ǡ���q=>��p����������˼�ǣ���q����������pһ���������������˵��q����p�dzز����ٵģ�����dz�ҫ�ġ�
������2���ٿ�����ҫ������
��������p=>q��ͬʱq=>p����p����q�ij�����������dz�ҫ���������ϊp��q�ij�ҫ����������p<=>q
������3���������ҫ����
������ѧ�у�ֻ��a��b�ij�ҫ����ʱ������aȥ����b�����ÿ�������ж�����һ����ҫ�������硰����ա߷ֱ�ƽ�е��ı��ν���ƽ���ı��ρ���һ�������˵��һ���ı���ϊƽ���ı��εij�ҫ��������������ա߷ֱ�ƽ�с�
������ȼ��һ������������涨������ô�������涨������һ�𣬿�����һ�����г�ҫ�������������ʾ��
��������ҫ��������ʱ�����ը��á����ҽ���������ʾ�����с�������ʾ����֡�������������ʾ����ҫ����
������4��һ��أ������е��������dz�ҫ�������ж������е��������dz�����������ʶ����еġ����ۡ�������ϊ��ҫ������
�����߿���ѧ���ϸ�ϰ֪ʶ��
����1�����ϵĸ���
������������ѧ����ԭʼ�ij�����ĸ��ֻ�ܸ�����������˵����ijщ�ƶ����ҳ�ͬ�ķ�����һ��ͳ�ϊһ�����ϡ���ɼ��ϵķ����Ԫ�أ�����ͨ���ô�д��ĸa��b��c��������ʾ��Ԫ�س���сд��ĸa��b��c��������ʾ��
����������һ��ȷ�������壬��˶լ���ҳ������������������ij�����եķ����ȫ����ɵ�һ�����ϡ�
����2��Ԫ���뼯�ϵĺ�ϵԪ���뼯�ϵ�`��ϵ�����ںͳ��������֣�Ԫ��a���ڼ���a������a��a��Ԫ��a�����ڼ���a������a��a��
����3��������Ԫ�ص�����
������1��ȷ���ԣ���a��һ�������ļ��ϣ�x��ijһ���������x������a��Ԫ�أ����߲���a��Ԫ�أ������������һ����ֻ��һ�ֳ���������a={0��1��3��4}����֪0��a��6��a��
������2�������ԣ��������ŵ�Ԫ�ر����ǻ���ġ�������˵������һ�������ļ��ϣ������κ�����Ԫ�ض��dz�ͬ�ġ���
������3�������ԣ�����������Ԫ�ص����д����أ��缯��{a��b��c}�뼯��{c��b��a}��ͬһ�����ϡ�
����4�����ϵķ���
�������ͽƹ��������е�Ԫ�ظ����ķ��ٷ�ϊ���ࣺ
������������������Ԫ�صļ��ϡ��硰����3x 1=0���ľ���ɵļ��ϡ����ɡ�2��4��6��8����ɵļ��ϡ������ǵ�Ԫ�ظ����ǿ����ģ��������������������
������������������Ԫ�صļ��ϣ��硰��ƽ������������ľ�����������е㡱�����е������ρ�������������ϵ�Ԫ�ز������ģ����������������
�����ر�ģ����ǰѳ������κ�Ԫ�صļ��ͻ����ռ����ǵ�f����{x��r| 1=0}��
����5���ض��ļ��ϵı�ʾ
����ϊ����д���㣬���ǹ涨�������������ض�����ĸ��ʾ�������ǽ��ֳ�����������ʾ���������μǡ�
������1��ȫ��ǹ������ļ���ͨ����ʒǹ�������������ȼ������������n��
������2���ǹ����������ų�0�ļ��ϣ�ҳ����������������n����n ��
������3��ȫ�������ļ���ͨ�����ϊ������z��
������4��ȫ���������ļ���ͨ�����ϊ��������������q��
������5��ȫ��ʵ���ļ���ͨ�����ϊʵ����������r��
��������ʽ�ľ⼯��
��������ʹ����ʽ������δ֪����ֵ����������ʽ�ľ⡣
������һ������δ֪���ij���ʽ�����н⣬����������ʽ�ľ⼯��
��������ʽ�⼯�ĺ��̽����ⲻ��ʽ��
��������ʽ���ж���
�����ٳ����ij��ⱥ��с�>����<�����ܡ����ݡ������١����ֱ���������ڣ�с�ڣ�с�ڵ��ڣ����ڵ��ڣ������ڡ������с��ܡ��ֽ��������ڣ����ݡ�������с�ڣ�
�������ڲ���ʽ��a>b����a
�����۲��ⱥŵŀ������ե����θ��ⱥŵļ�ͷ���ե�����с��
���������в���ʽʱ��һ��ҫע�ⲻ��ʽ��ϵ�ĺؼ��֣��磺�������ǹ����������ڡ�с�ڵȵȡ�
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�5
������һ���ּ���
������1����n��Ԫ�صļ��ϵ��ӽ���ϊ2^n�����ӽ���ϊ2^n��1���ǿ����ӽ�����ϊ2^n��2��
������2��ע�⣺���۵�ʱ��ҫ�����˵������
�����ڶ����ֺ����뵼��
����1��ӳ�䣺ע��
�����ٵ�һ�������е�Ԫ�ر�������
������һ��һ������һ��
����2������ֵ�����
�����ٷ�������
�������䷽����
�������б�ʽ����
���������ú��������ԣ�
�����ݻ�Ԫ����
���������þ�ֵ����ʽ��
�������������ν�ϻ����壨б�ʡ����롢����ֵ������ȣ���
���������ú����н��ԣ�
�����ᵼ����
����3�����ϻ������й�����
������1�����ϻ�����������
��������f��x���ķ�����ϊ��a��b�����ϻ���f[g��x��]�ķ������ɲ���ʽa��g��x����b�����
��������f[g��x��]�ķ�����ϊ[a��b]����f��x���ķ������൱��x��[a��b]ʱ����g��x����ֵ��
������2�����ϻ��������ե��ж���
���������ƚ�ԭ�����ֽ�ϊ�����������ں������⺯����
�����ڷֱ��о��ڡ��⺯���ڸ��զ������ڵĵ����ԣ�
�����۸��ݡ�ͬ��������������������ж�ԭ�������䶨�����ڵĵ����ԡ�
����ע�⣺�⺯����`���������ں�����ֵ��
����4���ֶκ�����ֵ����ֵ���������ԡ�ͼ������⣬�ȷֶν�������½��ۡ�
����5����������ż��
������1�������ķ��������ԭ��գ��ǻ���������ż�եı�ҫ������
������2�����溯����
������3����ż������
������4���溯����ԭ���ж��壬��
������5���ڹ���ԭ��գƶĵ��������ڣ��溯������ͬ�ĵ����ԣ�ż�������෴�ĵ����ԣ�
������6�������������ľ���ʽ��ϊ���ӣ�ӧ�ȵȼ۱��σ����ж�����ż�ԣ�
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�6
����1���������ĸ��
�������ں�������ʹ������ʵ��������������㡣
����2�������������壺
���������������ƿ���ʵ�������༴������ͼ�����ύ��ĺ����ꡣ����������ʵ����������ͼ�������н��㺯������㡣
����3������������
������������㣺
������1�������������̵�ʵ������
������2�������η������ڲ����������ʽ�ķ��̣����խ����뺯����`ͼ����ϵ�����������ú����������ҳ���㡣
����4�����κ�������㣺
�����������
����1����>0��������������ʵ�������κ�����ͼ���������������㣬���κ�����������㡣
����2����=0�������������ʵ�������ظ��������κ�����ͼ��������һ�����㣬���κ�����һ���������������㡣
����3����<0��������ʵ�������κ�����ͼ���������㣬���κ�������㡣
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�7
��������һ��"с��'����
��������ѧ�����у���խ���⣬ѡ���ⱻ��ϊ"с��'�����鿼������ʱʵ�����ݷ�����ͨ����ѡ��ĺۿ��������ر�ֵ���뷨���ر̷����žⷨ�ȣ��žⲻ���ܵ�ѡ���ѡ�����4ѡ1���2ѡ1����߽�����ٶȡ�
�������ɶ������ո����ʽ���»�����
�����ڽ�����у�����ҫ��������͵����ݡ����磬�ڿ����у�һщ������д�������꣬����ƽ�������μǽ���������֪����������ôд���������ѧ�ʵ㣬�ڼ������ƽ�������ת���у����������÷֡�
����������������չ�ʽ����ѧ�����������һ��������ǻ����ļ������ǻ��������ҷ��������ҷ����������ǹ�ʽ���յ���ʽ��������ʶ���գ������ⲻ����������щ��ʽд��ȥ��ҳ�ܵù�ʽ�֡����⣬����������у����յ��ƹ�ʽ��ͨ�ʽ��ǰn���ʽ�����빫ʽ������ξ��ܵ÷֡������弸�ο����у��еŀ���ϲ�������������⣬�����������ǹ�ʽ������ǹ�ʽ;�ڿ���������������̣����ռ�������������̵�ת����ʽ���ܵ÷֣���щ�����ڹ�ʽ�֡�
�������������ֲ������"��'�����
������ŀǰ������ϸ����ѧ����������֣�����д��һ����һ����.�֡����磬�����իع鷽�̣���ع�ϵ��b������������㣬���һ���ط���ϵ��b��ֵ�����������û���ˡ�����ֲ����⣬����x��y��ƽ������ȼ������ӣ������ĸ�����ӷ�ĸ����ã��ٴ���ʽ������㣬����ÿ�����з֣��������һ���ط���֮ǰ�ij���ҳ�ܵ÷֡�
���������ģ����ճ���"��·'�÷���
���������������ʱ��ȡֵ��χ��ͨ�������ֲ��ԣ���һ�ֽ����ɽǣ����������ǻ������н���ȥ�÷�;����ְѽǻ��ɱߣ��þ�ֵ����ʽ��ͼ�εļ�������ȥ�÷֡����dz����ĵ��⼼�ɡ���щ���⼼�ɽ��ڿ�ͨ��ѵ�������չ̶���·�������õ�������
������ܰ��ʾ
�������⣬��ʾ�������ڿ����ϣ���ҫ���ڴ��ⱔ��֧�䲻�����¶��֡����鿼�����������ѣ�����ij��������ѣ�����ϸ˼����û��˼·��ҫ���������һ�⡣���ٿ����ڿ����й��ھ���������κ͵����⣬��������һ��ѡ����û��ʱ��������ѡ������ѷ�ͨ����с������ⲻ���ͷ�ʧ�˵÷ֻ��ᡣ
������������ϰ�߲���ҳ����ʧ���ֵ�״�������磬����ͳ��������ӧ���⣬������ҫ�п϶������ֱ������еŀ������������ݣ���ϊ�����ˣ�����������ʱͳ�����ﲻ�淶�����±��۲���֡�������д���⡣��ѧ�������λ�ÿռ��с�ʵ�������ʱ����ҫ�й滮���ڲ�������״���£�������������г��у��ѳȷֵ�д��ȷ��������ʦ�������֡�
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�8
������һx=a��x=b������ab
����ab��baa=b
����ab={x|x=a����x=b}
����ab={x|x=a����x=b}
����card(ab)=card(a) card(b)��card(ab)
����(1)����
����ԭ������p��q
������������q��p
������������p��q
�������������q����p
����(2)ab��a��b�����ij������
����ba��a��b�����ı�ҫ����
����ab��a��b�����ij�ҫ����
����1������Ԫ�ؾ���
������ȷ����;
�����ڻ�����;
������������
����2�����ϱ�ʾ����
�������оٷ�;
������������;
������τ��ͼ;
���������ᷨ
����(3)���ϵ�����
������a��(b��c)=(a��b)��(a��c)
������cu(a��b)=cua��cub
����cu(a��b)=cua��cub
����(4)���ϵ�����
����nԪ���ϵ��ּ�����2n
�������ӽ�����2n��1;
�����ǿ����ӽ�����2n��2
�����߿���ѧ��ҫ֪ʶ��
��������ʽ��(a b)(a-b)=a^2-b^2���������ĺ�������������ļ�����������������.ƽ��������ʽ�ͽ����˷���ƽ���ʽ
������ʽ����
����������ijщ��ĸ���и��ŵķ�ʽ��
����1/(3-4������2)����
����1��(3 4������2)/(3-4������2)^2;=(3 4������2)/(9-32)=(3 4������2)/-23
�����ⷽ�̣�
����x^2-y^2=1991
����˼·������
��������ƽ���ʽ���
����������̣�
����x^2-y^2=1991
����(x y)(x-y)=1991
������ϊ1991���էֳ�1��1991��11��181
�����������x y=1991��x-y=1�����x=996��y=995
�������x y=181��x-y=11��x=96��y=85ͬʱҳ�����ǹ���
�������խ���x=996��y=995����x=996��y=-995����x=-996��y=995��x=-996��y=-995
������x=96��y=85����x=96��y=-85��x=-96��y=85��x=-96��y=-85
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�9
����һ���߿���ѧ���к��������с����ǻ�����ƽ������������ʽ�����弸�εⱦŵ��½�
������ҫ�ǿ������͵�������ϊ�����������н�������ĵij��֣��ⲿ���ﻹ�ص㿼���������棺��һ�����������ʣ����������ĵ����ԡ���ż��;�ڶ��ǻ����ľ���⣬�ص㿼����ƕ��κ����ߴκ������ֺ���������һщ�ֲ����⣬��������ֲ��ص㻹��������������
��������ƽ�����������ǻ���
���������ⲿ��֪ʶ�ص㿼���������棺�ǻ�������ֵ����һ���ص����չ�ʽ�����������ʽ;�ڶ����������ǻ�����ͼ������ʣ������ص��������һ��������һ�����.����;���������ҷ��������ҷ������������σ��ⷽ���ѷȳ�����
������������
�������������飬�ص㿼�������棺һ��ͨ��;һ������͡�
�����ġ��ռ����������弸��
�����������ص㿼���������棺һ����֤��;һ���ǽ��㡣
�����塢���ʺ�ͳ��
�������ʺ�ͳ����ҫ������ѧӧ������ķ��룬��ҫ���ռ������棺�����ȿ��ܵĸ���;�����¼�;�����¼��ͷ����ظ��¼������ĸ��ʡ�
����������������
�����ⲿ������˵���������������ѣ���ҫ���ռ������⣬��һ��ֱ�ߺ����ߵ�λ�ù�ϵ��ҫ��������ͨ��;�ڶ��ද������;���������ҳ�����;�������ƕգ�����;�������ص����⣬����������������˼·ȴû��һ�������ĵ𰸣�����ҫҫ���ձƚϻõ��㷨������������ȷ�ȡ�
�����ߡ�ѹ����
����ͬѧ�������ı�����ϰ�у���ӧ�ð��ص���ڲ���ʽ����ķ����у��ѷ���ȼ�ܴ���ҳ�м����ծ������հף�ƽʱ����щѹ�������⣬��ȡ�ܽ���ͽ��⣬��˼����˼����
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�10
����բ��բ��λ�ù�ϵ���жϸ���
����һ��������բ�i뾶ϊr��r��բ�ľ�ϊd��
���������������ֹ�ϵ��
����1��d>r r��բ���룻��բ��բ�ľ���֮�ʹ�����բ�i뾶֮�͡�
����2��d=r r��բ���у���բ��բ�ľ���֮�͵�����բ�i뾶֮�͡�
����3��d=r��r��բ���у���բ��բ�ľ���֮�͵�����բ�i뾶֮�
����4��d
����5��d
��������բ��բ��'λ�ù�ϵ�������������������жϣ�
����1�������㣬һբ����һբ֮������룬��֮�ڽ��ں���
����2����ψһ������ģ�һբ����һբ֮������у���֮�ڽ����с�
����3��������������ľ��ཻ����բբ��֮��ľ������բ�ľࡣ
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�11
����1. ��������ż��
������1����f��x����ż��������ôf��x��=f��-x�� ��
������2����f��x�����溯����0���䶨�����ڣ��� f��0��=0�����������������
������3���жϻ�����ż�կ��ö���ĵȼ���ʽ��f��x����f��-x��=0�� ��f��x����0����
������4�������������ľ���ʽ��ϊ���ӣ�ӧ�ȼ������ж�����ż�ԣ�
������5���溯���ڶգƶĵ�������������ͬ�ĵ����ԣ�ż�����ڶգƶĵ������������෴�ĵ����ԣ�
����2. ���ϻ������й�����
������1�����ϻ���������������֪ �ķ�����ϊ[a��b]���临�ϻ���f[g��x��]�ķ������ɲ���ʽa��g��x����b������ɣ�����֪f[g��x��]�ķ�����ϊ[a��b]���� f��x���ķ������൱��x��[a��b]ʱ����g��x����ֵ�� f��x���ķ������о�����������һ��ҫע�ⶨ�������ȵ�ԭ��
������2�����ϻ����ĵ������ɡ�ͬ��������ж���
����3.����ͼ�����ߵķգ��ԣ�
������1��֤������ͼ��ķգ��ԣ���֤��ͼ�����������ڶգ����ģ��գ��ᣩ�ķգƶ�����ͼ���ϣ�
������2��֤��ͼ��c1��c2�ķգ��ԣ���֤��c1���������ڶգ����ģ��գ��ᣩ�ķգƶ�����c2�ϣ���֮��ȼ��
������3������c1:f��x��y��=0������y=x a��y=-x a���ķգ�����c2�ķ���ϊf��y-a��x a��=0����f��-y a��-x a��=0����
������4������c1:f��x��y��=0���ڵ㣨a��b���ķգ�����c2����ϊ��f��2a-x��2b-y��=0��
������5��������y=f��x����x��rʱ��f��a x��=f��a-x�����������y=f��x��ͼ�����ֱ��x=a�գƣ�
������6������y=f��x-a����y=f��b-x����ͼ�����ֱ��x= �գƣ�
����4.������������
������1��y=f��x����x��rʱ��f��x a��=f��x-a�� ��f��x-2a ��=f��x�� ��a>��0�����������y=f��x��������ϊ2a�����ں�����
������2����y=f��x����ż��������ͼ���ֹ���ֱ��x=a�գƣ���f��x��������ϊ2��a������ں�����
������3����y=f��x���溯������ͼ���ֹ���ֱ��x=a�գƣ���f��x��������ϊ4��a������ں�����
������4����y=f��x�����ڵ㣨a��0������b��0���գƣ���f��x��������ϊ2 �����ں�����
������5��y=f��x����ͼ�����ֱ��x=a��x=b��a��b���գƣ�����y=f��x��������ϊ2 �����ں�����
������6��y=f��x����x��rʱ��f��x a��=-f��x������f��x a��= ����y=f��x��������ϊ2 �����ں�����
����5.����k=f��x���н� k��d��dϊf��x����ֵ��
����6.a��f��x�� ����� a��[f��x��]max���� a��f��x�� ����� a��[f��x��]min��
����7.��1�� ��a>��0��a��1��b>��0��n��r ���� ��2�� l og a n= �� a>��0��a��1��b>��0��b��1����
������3�� l og a b�ķ����ɿھ���ͬ���츺�����䣻 ��4�� a log a n= n �� a>��0��a��1��n>��0 ����
����8. �ж϶�ӧ�ƿ�ϊӳ��ʱ��ץס���㣺��1��a��Ԫ�ر��붼������ψһ����2��b��Ԫ�ز�һ������ԭ����a�в�ͬԪ����b�п�������ͬ����
����9. ���������ö���֤�������ĵ����ԣ��������жϻ�������ż�ԡ�
����10.���ڷ�������ӧ��������һщ���ۣ���1���������ϵ�`�����������з���������2���溯���ķ�����ҳ���溯������3��������ϊ�ǵ�Ԫ�ؼ���ż���������ڷ���������4�����ں��������ڷ���������5����ϊ����������������������ͬ�ĵ����ԣ���5�� y=f��x����y=f-1��x����ϊ����������f��x���ķ�����ϊa��ֵ��ϊb������f[f--1��x��]=x��x��b����f--1[f��x��]=x��x��a����
����11.�������κ����������������ν�ϣ����κ����ڱ������ϱ�����ֵ������ֵ�����á�����������һ�����ڷ������գ�����������������λ�ù�ϵ��
����12. ���ݵ����ԣ�����һ�κ����������ϵı����կɽ����һ������ķ�χ����
����13. ���������ĵ�����������1���������������2��ת��ϊһԪ���η��̵ĸ��ķֲ��в���ʽ���飩��⣻
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�12
�����߿���ѧ��ҫ֪ʶ������
����һ����ĺ켣���̵ļ�������
�����������ʵ�������ϵ���������m������;
������д����m�ļ���;
�����������=0;
����������ϊ�����ʽ;
���������顣
����������ĺ켣���̵ij��÷�������켣���̵ķ����ж��֣����õ���ֱ�뷨�����巨����ص㷨���������ͽ��취�ȡ�
������ֱ�뷨��ֱ�ӽ���������ɵ�ʽ����������ö���ĺ켣���̣�������켣���̵ķ���ͨ������ֱ�뷨��
���������巨������ܹ�ȷ������ĺ켣����ij����֪���ߵķ��壬����������ߵķ���д�����̣�������켣���̵ķ����������巨��
��������ص㷨���ö���q������x��y��ʾ��ص�p������x0��y0��ȼ������p������(x0��y0)����������߷��̣����������õ�����q�켣���̣�������켣���̵ķ���������ص㷨��
������������������������x��y֮���ֱ�ӹ�ϵ�����ҵ�ʱ��������ѱ��x��y��ijһ����t�ĺ�ϵ��������ȥ�α���t���õ����̣���ϊ����ĺ켣���̣�������켣���̵ķ���������������
���������취�����������߷����еij�����ȥ���õ����������ķ��̣���ϊ�������߽���ĺ켣���̣�������켣���̵ķ����������취��
����6.ֱ�뷨����켣���̵�һ�㲽��
�����ٽ�ϵ���������ʵ�������ϵ;
��������㡪����켣�ϵ���һ��p(x��y);
��������ʽ�����г�����p������ĺ�ϵʽ;
�����ܴ����������������ص㣬ѡ�þ��빫ʽ��б�ʹ�ʽ�ƚ���ת��ϊ����x��y�ķ���ʽ��������;
������֤������֤�����̼�ϊ���������ķ���켣���̡�
�����˽̰�����꼶�߿���ѧ�ؿ�֪ʶ��
������������������ȣ������涼��ȫ�ȵĵ��������σ������������εױ��ϵĸ����(������������б��).
�����������ĸߡ�б�ߺ�б���ڵ����ڵ���ӱ���һ��ֱ�������σ������ĸߡ����⡢�����ڵ����ڵ���ӱҳ���һ��ֱ��������.
�������������ķ����ڵ������ӱλ�ã�
���������ij��ⳤ����ȣ����ڵ����ϵ���ӱϊ�������ε�����.
���������ij�����������ɵľǿ���ȣ����ڵ����ϵ���ӱϊ�������ε�����.
����������'��������������ɽǿ���ȣ����ڵ����ϵ���ӱϊ������������.
���������ķ��㵽������߾�����ȣ����ڵ����ϵ���ӱϊ������������.
������������������ⴹֱ�����ڵ������ӱϊ�����δ���.
��������������������������ֱ�����ڵ����ϵ���ӱϊ�����εĵ���.
������ÿ�������嶼�����������0�ǹ�������д���ľ��㣬�˵㵽������ľ��������뾶;
������ÿ�������嶼������������
�������������������ǵ�ƽ����ľ��㣬������ľ�����ڰ뾶.
����[ע]��
����i.�������涼�ǵ��������σ��ҵ����������ε�����������.(��)(��������ĵ��������β�֪�ƿ�ȫ��)
����ii.��һ�������������խ����ഹֱ��������խ��߱�ȼ��ֱ.
������֤��ab��cd��ac��bd
����bc��ad.��ã���֪��.
����iii.�ռ��ı���oabc���ı߳���ȣ���˳��������ߵ��е���ı���һ���ǿ���.
����iv.�����ı߳���խ��߷ֱ���ȣ���˳��������ߵ��е���ı���һ����������.
������֤��ȡac�е㣬��ƽ��90����֪efghϊƽ���ı���
����efghϊ������.���խ��ߵȣ���ϊ������.
����������ѧ�߿���ϰ֪ʶ��
���������ǹ�����ѧ����ҫ���ݣ�����ѧϰ�ߵ���ѧ�ļ������߿��ա��µŀ���ƚ�ȫ�棬�ȳ����у��ȱ����еŀ���ÿ�궼������©���й����е����⾭�����ۺ��⣬����������֪ʶ��ָ�����������������ͳ���ʽ��֪ʶ�ۺ�����������ҳ���ѵȳ����с��ȱ����у�������ѧ���ɷ��ۺ���һ��
����̽���������ǹ߿����ȵ㣬�������н�����г��֡������л��̺��ŷḻ����ѧ˼�룬�������������ؿ��麯���뷽�̡�ת���뻯�顢�������۵���ҫ˼�룬�լ��䷽������Ԫ��������ϵ�����ȼ�����ѧ������
���������������߿��������з����������ҫ��������������;
����(1)���б������й�֪ʶ�������еȳ�������ȱ����еĸ�����ʡ�ͨ�ʽ�����ʽ��
����(2)����������֪ʶ�ľ�ϣ������������뺯�������̡�����ʽ�����ǡ����εľ�ϡ�
����(3)���е�ӧ�����⣬������ҫ��������������ϊ����������ѷ���������σ�с����ի�����ϊ�����������ի�������е���ϊ����ֻ�и���ط��������뼸�ε��ۺ��뺯��������ʽ���ۺ���ϊ���һ���ѷƚθ�
����1.�����յȳ����с��ȱ����еķ��塢���ʡ�ͨ�ʽ��ǰn���ʽ�ļ����ϣ�ϵͳ���ս�ȳ�������ȱ������ۺ���ĺ��ɣ����ѧ˼�뷽���ڽ���ʵ���е�ָ�����ã�������������֪ʶ�ͷ��������ѧ��ʵ�������е��й�����;
����2.�ڽ���ۺ����̽��������ʵ���м���ի���֪ʶ���������ܺͻ�����ѧ˼�뷽������ʶ����ͨ����֪ʶ����ϵ���γɸ�������֪ʶ���磬��߷�������ͽ�������������
������һ������ѧ���ķ�����ʹ����������ۺ�������ѧ˼�뷽�������������������������
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�13
�����߿���ѧ�ծ����ע������
����һ�������
����1�����й��ڷ�χ���߽⼯�����һ��д������ʽ����������ͼ�˼���ŀ�ʵĵ����ƿ�χ�������䣬ʡ�£�
����2����������ŀ��յ��п���������£��ر����ҳ����ݸ��ֵ����լ�������
����3�����нƕ����д�ɻ����ƶȣ���ȷ����һ��д�˸�0��60�ȣ�0��������������ͽ��������ǽӹ���(��)��
����4������ҫ�壬ҫ���ֿ������������ʡ����磬�нǻ��ǽн�����ֵ������ʽ��������ʽ��ֵ������������д������дʵ�������鲿����ģ����б�ǻ���б�ʣ��켣���ǹ켣���̣�ֱ��ac����ƽ��ac��ϵ�����ƕ���ʽϵ�������ֵ������сֵ��
����5������������ҫע��𰸵�����0����0������
����6���ȳ�ȱ������㹫��������������ģ�ע�⿴��û�с��������у��������с�һ������ۣ�
����7������������ֱ�߷��̣�����б��ҫ����б�ʲ����ڵ������
����8��д�˽���ʽ�켣����ҫע�ⲻҫ���ƕ�����ͬ�������������ͣ���ҫ����k��z��д����k�ľǹ�ҫ���dz�����ŀ���˷�χ
����9����������ҫ���役����ʲô�ط������ߣ�
����10��������ͨ��ҫ�����費��ҫ���࣬a1�ܲ��ܺϲ���
����11��ʵϵ��һԪ���η�����ϵ��ҫע�����ʵ�����������
����12������ij�ҫ���ᣬ���ҫ������35���ӣ�
��������ѡ����
����1��û��abcd��һ����˵������û��ʲôabcdһ��һ��û��һ����������˵��������ƭ�˵ģ�
����2������ӣ��ѡ����ļ��ɣ���ѧ�����ã���������һ���������϶����ա�ѡ֮�ࣻ
����3��ע�⸳ֵ�����ų����ڼ��ѡ����ʱ�����ã�
����(������ݿɵ���ķ��߿���ѧѡ�������ʮ����⼼��)
����4��ѡ�������10�������ڣ�
�������������
����1�������ж���ż��ǰҫ���ж϶������ƿ����ҷգƣ�һ��ŷ��r�ļ�ҳҫ��һ���ж�ŷ��������֤�����ʱ��ע�ⶨ������ֵд��ʱ��û��сֵ��ҫ����д����сֵ!
����2����������ʽʹ��һ������������м��мǣ����ı�ţ����ݷ�χ�ж϶�ֲ�ƿ�ȡ�õ���
����3���������ʱ��ע��a,b��r��ҫ©��
����4��д���ȷֵ㹫ʽ�мdz�ҫд�����ģʽ������û�г��������ڴ��������
����5�����������õ�sinֵ����м����⣬�����мǽ��飻
����6��������������б�ʼ���б�ʲ����ڣ��е����������ǵü����б�ʽ����0��
����7��ӧ����ע��һ��ҫд�����ķ�����������ҫ���ǣ�����ͼ�ε�ӧ���⣬���������ޣ�
����8��ͼ��ƽ�ƽǵ�ǰ��ĸ���ϵ��ҫ�����ƽ�ƣ�
����9�����д���̫�ѵ�һ�����������բ�ͨ�ʱ���ж�ӹ���ѧ���ɷ�֤����
����10������ǰ���������25��30����
�����߿���ѧ�����ע������
����һ�����ǻ�����
����ע���һ��ʽ���յ���ʽ����ȷ��(ת����ͬ��ͬ�����ǻ���ʱ�����ù�һ��ʽ���յ���ʽ(��䡢ż���䣻���ſ�����)ʱ����������ϊ���ģ����´���!һ�ų��������̽���!)��
��������������
����1��֤��һ�������ǵȳ�(�ȱ�)����ʱ������½���ʱҫд����˭ϊ���˭ϊ����(����)�ĵȳ�(�ȱ�)���у�
����2�����һ��֤������ʽ����ʱ�����һ���dz�������һ���ǻ���n��ʽ��ʱ��һ�㿼���÷�������������˶��ǻ�n��ʽ�ӣ�һ�㿼����ѧ���ɷ�(����ѧ���ɷ�ʱ����n=k 1ʱ��һ��������n=kʱ�ļ��裬������ȷ�������ϼ������ΰѵ�ǰ��ʽ��ת����ŀ��ʽ�ӣ�һ������ʵ��ķ�������һ�������ѷȵġ����ķ����ǣ��õ�ǰ��ʽ�ӽ�ȥŀ��ʽ�ӣ������ţ��õ�ŀ��ʽ�ӣ��½���ʱһ��д�����ϣ��ɢ٢ڵ�֤��
����3��֤������ʽʱ����ʱ���캯�������ú��������ժܼ�(����ҫ�й��캯������ʶ)��
�����������弸����
����1��֤������λ�ù�ϵ��һ�㲻��ҫȥ��ϵ������
����2��������ֱ�����ɵľǡ�����ǡ�����ǡ����������⡢������ĸߡ�����������������ʱ�����ҫ��ϵ��
����3��ע���������ɵľǵ�����ֵ(��χ)������ǵ�����ֵ(��χ)�ĺ�ϵ(�������⡢�۽ǡ��������)��
�����ġ���������
����1���������������������л����¼��������¼������ļ����¼��ĸ�����
����2��������ʲô����ģ�ͣ������ĸ���ʽ��
����3������ֵ��������ʽ��
����4�������ʱ��������(����p1 p2 ... pn=1)��
����5��ע�����ʱ�����о١���ͼ�ȼ���������
����6��ע��żس��������żس�����
����7��ע�⡰��ɢ�ġ���֪ʶ��(��ҷͼ��ƶ�ʷֲ�ֱ��ͼ���ֲ������)�ڴ����е�����
����8��ע���������ʹ�ʽ��
����9��ע��ƽ�����顢����ȫƽ���������⡣
�����塢բ��������
����1��ע����켣����ʱ������������(��բ��˫���ߡ�������)���룬��բ������࣬��������ֱ�ӷ������巨�����취��������������ϵ������
����2��ע��ֱ�ߵ��跨(��1����б�ʣ�ûб�ʣ���2��x=my b(б�ʲ�ϊ��ʱ)��֪�����е�ʱ�������õ�)��ע���б�ʽ��ע��τ�ﶨ����ע���ҳ���ʽ��ע���ա�����ȡֵ��χ�ȵȣ�
����3��ս��������˼·ҫ��7�֣���9�֣���12�֡�
����������������ֵ����ֵ������ʽ�����(���������)����
����1���������ķ�������ȷ����������ر��ǹ��ϻ�����`��������������һ�㲻�ܲ����á��͡���������(֪���������䣬�����ⱥţ�֪�����ԣ��������χ�����ⱥ�)��
����2��ע�����һ����ӧ��ǰ����۵���ʶ��
����3��ע��������۵�˼�룻
����4������ʽ�����й��캯������ʶ��
����5�����������(���볣���������ú���ͼ������ķֲ�����������ֵ��)��
����6������˼·�ϱ�4�֣���8�֣���12�֡�
�����߿���ѧ���խ���ע������
����1.���������ĺ�ϵ
�����ܶ��˶��������ӳ������ҵ�һ�������±ʣ�������ŀ��������ҫ��û�г���������δ���ŀ���ھ�������������������˼·����̸���������������ȼ�ࡣֻ��������ϸ�����⣬ȷ�ذ�����ŀ�еĺؼ����������硰���١�����a>0�����ա�����ȡֵ��χ�ȵȣ����л�ȡ�����ܶ����ϣ������ѹ�������ⷽ��
����2.���������롰�÷֡��ĺ�ϵ
����ҫ����ľ������ת��ϊ�÷ֵ㣬��ҫ��ȷ��������ѧ���ա�������һ���������ܶ��������ӣ���˾����θ������֡�������ԡ����զ���ȫ����������լ��ĺ�����ʵ�ʵ÷ֲ�֮��զ�������弸����֤�еġ���������ʹ�ܶ��˶�ʧ1/3���ϵ÷֣�������֤�с���ͼ��֤�������ܽ���˼·��ȷ����������������ڲ����ڰѡ�ͼ�����ԡ�ȷ��ת��ϊ���������ԡ����÷��ٵÿ�����
����3.�����ĺ�ϵ
����ֻ�с������ܵ÷֣�ֻ�с�����ſɲ��ؿ����ٻ�ʱ���飬�����족��ƽʱѵ���ľ�������ǿ��������ܽ�������⣬һζ��죬ֻ����ô���ٳ�����ȥ���21��ӧ���⣬�����г��ֶκ�������ʽ�����ѣ������൱������ڴ�æ�аѷ��κ�������һ�κ�������������ܺ�̲��ֽ���˼·��ȷ�ֻ�ʱ��ȥ�㣬ҳ�����ò����֣��������ǵ�ʵ��ˮƽ�dz�����ġ��ʵ�����һ�㡢һ�㣬�ɵö�һ��֣��෴����һ�㣬��һƭ������ʱ�仹�ò����֡�
����4.������������ĺ�ϵ
�����õ��ծ���ӧ��ȫ��ͨ��һ�飬һ����˵ӧ�������ѡ��ȼ��˳�����𡣽����������˳����ȫ������˳������ڴ���ʱҫ��������ʱ�䣬��ҫ��ij����ס�����θ־�ս���������ⱥķ�ʱ�����ò����֣����������ֱ������ˡ��⼸�꣬��ѧ�����ѵӡ�һ��ѹء�תϊ������ѹء�����˽���ⶼ�����˲�η����ġ�̨�ס�����ڿ��������ף����������ѣ�����ѣ���˿���������ҳ���с�ҧ�֡��ĺؿ���������������ҳ�пɵ÷�֮�������կ����п��������ס��ⲻ�ɵ������ģ��������ⲻҫ���ӣ��侲˼������ϸ���������ܵõ�ӧ�еķ�����
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�14
�����߿���ѧ֪ʶ�㣺�켣���̵����
��������һ�������ķ������γɵ�ͼ�σ�����˵������һ�������ĵ��ȫ������ɵļ��ϣ���������������ĵ�ĺ켣.
�����켣������������������⣺���ڹ켣�ϵĵ㶼���ϸ�����������������켣�ĵ�����(ҳ������ҫ��);�����ڹ켣�ϵĵ㶼�����ϸ�����������ҳ���ƿ��ϸ��������ĵ���ڹ켣�ϣ�������켣���걸��(ҳ���������).
�������켣���̡������뼸�ι켣��ӧ�ĵ���������
����һ����ĺ켣���̵ļ�������
�����������ʵ�������ϵ���������m������;
������д����m�ļ���;
�����������=0;
����������ϊ�����ʽ;
���������顣
����������ĺ켣���̵ij��÷�������켣���̵ķ����ж��֣����õ���ֱ�뷨�����巨����ص㷨���������ͽ��취�ȡ�
������ֱ�뷨��ֱ�ӽ���������ɵ�ʽ����������ö���ĺ켣���̣�������켣���̵ķ���ͨ������ֱ�뷨��
���������巨������ܹ�ȷ������ĺ켣����ij����֪���ߵķ��壬����������ߵķ���д�����̣�������켣���̵ķ����������巨��
��������ص㷨���ö���q������x��y��ʾ��ص�p������x0��y0��ȼ������p������(x0��y0)����������߷��̣����������õ�����q�켣���̣�������켣���̵ķ���������ص㷨��
������������������������x��y֮���ֱ�ӹ�ϵ�����ҵ�ʱ��������ѱ��x��y��ijһ����t�ĺ�ϵ��������ȥ�α���t���õ����̣���ϊ����ĺ켣���̣�������켣���̵ķ���������������
���������취�����������߷����еij�����ȥ���õ����������ķ��̣���ϊ�������߽���ĺ켣���̣�������켣���̵ķ����������취��
����.ֱ�뷨����켣���̵�һ�㲽��
�����ٽ�ϵ���������ʵ�������ϵ;
��������㡪����켣�ϵ���һ��p(x��y);
��������ʽ�����г�����p������ĺ�ϵʽ;
�����ܴ����������������ص㣬ѡ�þ��빫ʽ��б�ʹ�ʽ�ƚ���ת��ϊ����x��y�ķ���ʽ��������;
������֤������֤�����̼�ϊ���������ķ���켣���̡�
�����߿���ѧ֪ʶ�㣺������ϲ�ʽ
����������ϲ�ʽ/������ϼ��㹫ʽ
��������p------��˳���й�
�������c-------��ǣ�浽˳�������
�������з�˳����ϲ���
���������5����ͬ����ָ�3���ˣ��м��ַַ�."����"
������5����ָ�3���ˣ��м��ַַ�"���"
����1.���м����㹫ʽ
������n����ͬԪ���у���ȡm(m��n)��Ԫ�ذ���һ����˳���ų�һ�у�������n����ͬԪ����ȡ��m��Ԫ�ص�һ������;��n����ͬԪ����ȡ��m(m��n)��Ԫ�ص��������еĸ�����������n����ͬԪ����ȡ��m��Ԫ�ص����������÷���p(n��m)��ʾ.
����p(n��m)=n(n-1)(n-2)����(n-m 1)=n!/(n-m)!(�涨0!=1).
����2.��ϼ����㹫ʽ
������n����ͬԪ���у���ȡm(m��n)��Ԫ�ز���һ�飬������n����ͬԪ����ȡ��m��Ԫ�ص�һ�����;��n����ͬԪ����ȡ��m(m��n)��Ԫ�ص�������ϵĸ�����������n����ͬԪ����ȡ��m��Ԫ�ص������.�÷���
����c(n��m)��ʾ.
����c(n��m)=p(n��m)/m!=n!/((n-m)!.m!);c(n��m)=c(n��n-m);
����3.������������ϲ�ʽ
������n��Ԫ����ȡ��r��Ԫ�ص�ѭ��������=p(n��r)/r=n!/r(n-r)!.
����n��Ԫ�ر��ֳ�k�࣬ÿ��ĸ����ֱ���n1��n2��...nk��n��Ԫ�ص�ȫ������ϊ
����n!/(n1!.n2!.....nk!).
����k��Ԫ�أ�ÿ��ĸ������ޣ�����ȡ��m��Ԫ�ص������ϊc(m k-1��m).
��������(pnm(nϊ�±꣬mϊ�ϱ�))
����pnm=n��(n-1)....(n-m 1);pnm=n!/(n-m)!(ע��!�ǽ׳˷���);pnn(����n�ֱ�ϊ�ϱ���±�)=n!;0!=1;pn1(nϊ�±�1ϊ�ϱ�)=n
�������(cnm(nϊ�±꣬mϊ�ϱ�))
����cnm=pnm/pmm;cnm=n!/m!(n-m)!;cnn(����n�ֱ�ϊ�ϱ���±�)=1;cn1(nϊ�±�1ϊ�ϱ�)=n;cnm=cnn-m
����20xx-07-0813��30
������ʽp��ָ���у���n��Ԫ��ȡr���������с���ʽc��ָ��ϣ���n��Ԫ��ȡr�������������с�n-Ԫ�ص��ܸ���r����ѡ���Ԫ�ظ���!-�׳ˣ���9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1
������n����r��������ʽӧ��ϊn.(n-1).(n-2)..(n-r 1);
������ϊ��n��(n-r 1)����ϊn-(n-r 1)=r
����������
����q1���д�1��9����9�����������ʣ�������ɶ��ٸ���λ��?
����a1��123��213��������ͬ������������������˳����ҫ��ģ������ڡ�����p�����㷶�롣
�����������у��κ�һ������ֻ����һ�σ���ȼ�������988��997֮�����ϣ����ǿ�����ô������λ����9�ֿ��ܣ�ʮλ����ӧ����9-1�ֿ��ܣ���λ����ӧ��ֻ��9-1-1�ֿ��ܣ����չ���9.8.7����λ�������㹫ʽ=p(3��9)=9.8.7��(��9����3����.�˻�)
����q2���д�1��9����9�����������ʣ��������һ�飬�������������ˡ���������ϳɶ��ٸ����������ˡ�?
����a2��213��ϻ�312��ϣ�����ͬһ����ϣ�ֻҫ��������������һ�ɡ�����ҫ��˳��ģ����ڡ����c�����㷶�롣
�����������у������еi����������ĸ���ȥ���������ظ��ĸ�����ϊ���������c(3��9)=9.8.7/3.2.1
�������с���ϵĸ����ʽ�����������
������1����3��ѧ����4������с��.(1)ÿ��ѧ����ֻ�μ�һ������с��;(2)ÿ��ѧ����ֻ�μ�һ������с�飬����ÿ��с��������һ��ѧ���μ�.���ж����ֲ�ͬ����?
������(1)����ÿ��ѧ�������բμ�4������с���е��κ�һ������������ÿ������с�����������˹����ֲ�ͬ����.
����(2)����ÿ��ѧ����ֻ�μ�һ������с�飬����ÿ��с��������һ��ѧ���μӣ���˹����ֲ�ͬ����.
������������ҫ��3��ѧ�����ѡ�����с�飬�����ʶ��ó˷�ԭ�����м���.
������2�ų�һ�у����в��ŵ�һ�����ŵڶ������ŵ��������ŵ��ĵij�ͬ�ŷ����ж�����?
�����������⣬����ҫ����ŷ��ɷ�ϊ��һ���š����е�ijһ������3�࣬ÿһ���в�ͬ�ŷ��ɲ��û�����ͼ���ķ�ʽ��һ�ų���
�������������ij�ͬ�ŷ�����9��.
�����������շ֡��ࡱ��˼·������ӧ���˼ӷ�ԭ��.ϊ���ղ�ͬ�ŷ��ĺ��ɣ�����ͼ����һ�־���ֱ���������ч������ҳ�ǽ�����������һ����ѧģ��.
������3���������������������������?����������.
����(1)�����꼶ѧ������11�ˣ���ÿ���˻�ͨһ���ţ���ͨ�˶��ٷ���?��ÿ���˻�����һ���֣������˶��ٴ���?
����(2)�߶��꼶��ѧ����с�鹲10�ˣ��ٴ���ѡһ�����鳤��һ�����鳤�����ж����ֲ�ͬ��ѡ��?�ڴ���ѡ2���μ�ʡ��ѧ�������ж����ֲ�ͬ��ѡ��?
����(3)��2��3��5��7��11��13��17��19�˸��������ٴ�����ȡ�����������ǵ��̿����ж����ֲ�ͬ����?�ڴ�����ȡ���������ļ������եõ����ٸ���ͬ�ļ�?
����(4)��8�軨���ٴ���ѡ��2��ֱ����������ÿ��һ�裬�ж����ֲ�ͬ��ѡ��?�ڴ���ѡ��2����ڽ����ж����ֲ�ͬ��ѡ��?
��������(1)������ÿ�˻�ͨһ���ţ����ҵ������ҹ������dz�ͬ�������ţ�������˳���й�������;������ÿ���˻���һ���֣����������֣������������ͬһ�����֣���˳���أ��������������.�������ʒ���.
����(1)�����������⣬�����˷���;����������⣬��������(��).
����(2)�����������⣬����(��)��ͬ��ѡ��;����������⣬�����ֲ�ͬ��ѡ��.
����(3)�����������⣬�����ֲ�ͬ����;����������⣬�����ֲ�ͬ�ļ�.
����(4)�����������⣬�����ֲ�ͬ��ѡ��;����������⣬�����ֲ�ͬ��ѡ��.
������4֤��.
����֤����ʽ
������ʽ.
�������ʽ����.
������������һ����������ʽ��֤�����⣬ѡ�ý׳�֮�̵���ʽ�������ý׳˵����ʣ���ʹ���ι��̵��լ�.
������5����.
�����ⷨһԭʽ
�����ⷨ��ԭʽ
���������ⷨһѡ�����������ʽ�ľ׳���ʽ�������ý׳˵�����;�ⷨ��ѡ������������������ʣ���ʹ���ι��̵��լ�.
������6�ⷽ�̣�(1);(2).
������(1)ԭ����
�������.
����(2)ԭ���̿ɱ�ϊ
�����ߣ���
������ԭ���̿ɻ�ϊ.
�����������
����������ѧ���ǻ�����ʽ
����������ǻ�����ʽ
����sin ��=�ϧ��ķա� / б��
����cos ��=�ϧ����ڱ� / б��
����tan ��=�ϧ��ķա� / �ϧ����ڱ�
����cot ��=�ϧ����ڱ� / �ϧ��ķա�
�������ǹ�ʽ
����sin2a=2sina?cosa
����cos2a=cosa^2-sina^2=1-2sina^2=2cosa^2-1
����tan2a=(2tana)/(1-tana^2)
����(ע��sina^2 ��sina��ƽ�� sin2(a) )
���������ǹ�ʽ
����sin3��=4sin����sin(��/3 ��)sin(��/3-��)
����cos3��=4cos����cos(��/3 ��)cos(��/3-��)
����tan3a = tan a �� tan(��/3 a)�� tan(��/3-a)
���������ǹ�ʽ�ƶ�
����sin3a
����=sin(2a a)
����=sin2acosa cos2asina
���������ǹ�ʽ
����asin�� bcos��=(a^2 b^2)^(1/2)sin(�� t)������
����sint=b/(a^2 b^2)^(1/2)
����cost=a/(a^2 b^2)^(1/2)
����tant=b/a
����asin�� bcos��=(a^2 b^2)^(1/2)cos(��-t)��tant=a/b
�������ݹ�ʽ
����sin^2(��)=(1-cos(2��))/2=versin(2��)/2
����cos^2(��)=(1 cos(2��))/2=covers(2��)/2
����tan^2(��)=(1-cos(2��))/(1 cos(2��))
�����ƶ���ʽ
����tan�� cot��=2/sin2��
����tan��-cot��=-2cot2��
����1 cos2��=2cos^2��
����1-cos2��=2sin^2��
����1 sin��=(sin��/2 cos��/2)^2
����=2sina(1-sin2a) (1-2sin2a)sina
����=3sina-4sin3a
����cos3a
����=cos(2a a)
����=cos2acosa-sin2asina
����=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa
����=4cos3a-3cosa
����sin3a=3sina-4sin3a
����=4sina(3/4-sin2a)
����=4sina[(��3/2)2-sin2a]
����=4sina(sin260��-sin2a)
����=4sina(sin60�� sina)(sin60��-sina)
����=4sina.2sin[(60 a)/2]cos[(60��-a)/2].2sin[(60��-a)/2]cos[(60��-a)/2]
����=4sinasin(60�� a)sin(60��-a)
����cos3a=4cos3a-3cosa
����=4cosa(cos2a-3/4)
����=4cosa[cos2a-(��3/2)2]
����=4cosa(cos2a-cos230��)
����=4cosa(cosa cos30��)(cosa-cos30��)
����=4cosa.2cos[(a 30��)/2]cos[(a-30��)/2].{-2sin[(a 30��)/2]sin[(a-30��)/2]}
����=-4cosasin(a 30��)sin(a-30��)
����=-4cosasin[90��-(60��-a)]sin[-90�� (60�� a)]
����=-4cosacos(60��-a)[-cos(60�� a)]
����=4cosacos(60��-a)cos(60�� a)
����������ʽ��ȿɵ�
����tan3a=tanatan(60��-a)tan(60�� a)
������ǹ�ʽ
����tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1 cosa);
����cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1 cosa)/sina.
����sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
����cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2
����tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))
�������ǻ�
����sin(�� �� ��)=sin����cos�¡�cos�� cos����sin�¡�cos�� cos����cos�¡�sin��-sin����sin�¡�sin��
����cos(�� �� ��)=cos����cos�¡�cos��-cos����sin�¡�sin��-sin����cos�¡�sin��-sin����sin�¡�cos��
����tan(�� �� ��)=(tan�� tan�� tan��-tan����tan�¡�tan��)/(1-tan����tan��-tan�¡�tan��-tan�á�tan��)
�������ǻͳ�
����cos(�� ��)=cos����cos��-sin����sin��
����cos(��-��)=cos����cos�� sin����sin��
����sin(������)=sin����cos�¡�cos����sin��
����tan(�� ��)=(tan�� tan��)/(1-tan����tan��)
����tan(��-��)=(tan��-tan��)/(1 tan����tan��)
�����ͳ��
����sin�� sin�� = 2 sin[(�� ��)/2] cos[(��-��)/2]
����sin��-sin�� = 2 cos[(�� ��)/2] sin[(��-��)/2]
����cos�� cos�� = 2 cos[(�� ��)/2] cos[(��-��)/2]
����cos��-cos�� = -2 sin[(�� ��)/2] sin[(��-��)/2]
����tana tanb=sin(a b)/cosacosb=tan(a b)(1-tanatanb)
����tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1 tanatanb)
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�15
����һ�������йظ���
����1. ���ϵĺ���
����2. ���ϵ���Ԫ�ص��������ԣ�
����(1) Ԫ�ص�ȷ����,
����(2) Ԫ�صļ�����,
����(3) Ԫ�ص�������,
����3.���ϵı�ʾ��{ �� } �磺{��у��'�����ա}��{̫ƽ��,������,ӡ����,������}
����(1) ��������ĸ��ʾ���ϣ�a={��у�������ա},b={1,2,3,4,5}
����(2) ���ϵı�ʾ�������оٷ�����������
����? ע�⣺������������ƿ���
�����ǹ�������(����ȼ����) ������n
������������ n*�� n ������z ��������q ʵ����r
����1) �оٷ���{a,b,c����}
����2) ���������������е�Ԫ�صĺ�����������������д�ڴ������ڱ�ʾ���ϵķ�����{x?r| x-3>2} ,{x| x-3>2}
����3) ����������������{����ֱ�������ε�������}
����4) vennͼ:
����4�����ϵķ��ࣺ
����(1) ���� ��������Ԫ�صļ���
����(2) ���� ��������Ԫ�صļ���
����(3) �ռ� �����κ�Ԫ�صļ��� ����{x|x2=-5��
�����������ϼ�ļ�����ϵ
����1.����������ϵ���ӽ�
����ע�⣺ �����ֿ���(1)a��b��һ���֣�;(2)a��b��ͬһ���ϡ�
������֮: ����a�������ڼ���b,��b����������a,����a b��b a
����2.����ȡ���ϵ��a=b (5��5����5��5����5=5)
����ʵ������ a={x|x2-1=0} b={-1,1} ��Ԫ����ͬ����������ȡ�
���������� �κ�һ�����������������ӽ���a?a
���������ӽ�:���a?b,��a? b�ǿ�˵����a�ǽ���b�����ӽ�������a b(��b a)
��������� a?b, b?c ,��ô a?c
������ ���a?b ͬʱ b?a ��ôa=b
����3. �����κ�Ԫ�صļ��ͻ����ռ�����ϊ
�����涨: �ռ����κμ��ϵ��ӽ��� �ռ����κηǿռ��ϵ����ӽ���
����? ��n��Ԫ�صļ��ϣ�����2n���ӽ���2n-1�����ӽ�
�����������ϵ�����
������������ �� �� �� �� �� ��
������ �� ����������a������b��Ԫ������ɵļ���,����a,b�ľ���.����a b(������a��b��)����a b={x|x a����x b��.
�������������ڼ���a�����ڼ���b��Ԫ������ɵļ��ϣ�����a,b�ij���.������a b(������a��b��)����a b ={x|x a����x b}).
������s��һ�����ϣ�a��s��һ���ӽ�����s�����в�����a��Ԫ����ɵļ��ϣ�����s���ӽ�a�ij���(���༯)
���߿���ѧ֪ʶ���ܽ������£�
��ѧ�߿�֪ʶ���ܽ�11-29
��ѧ�߿�֪ʶ���ܽ�12-06
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�12-09
�߿���ѧ֪ʶ���ܽ�07-02
��ѧ�߿�֪ʶ��11-05
��ѧ�߿�֪ʶ���ܽ�15ƪ11-29
��ѧ�߿�֪ʶ���ܽ�(15ƪ)11-29
��ѧ�߿�֪ʶ���ܽᾣѡ15ƪ11-30
�߿���ѧ����֪ʶ���ܽ�12-09
�߿���ѧ����ͳ��֪ʶ���ܽ�12-09